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アルキメデスのらせんに先人あり?

 Nature Digest 4月号より、不思議な幾何学的な模様が壁画に発見されたという記事です。

 その壁画は、エーゲ海にあるサントリーニ(ティラ)島にあるアクロティリ遺跡にて、現在も発掘が行われています。この地では、かつておよそ紀元前1650年頃にミノア人が生活しており、当時に起きた火山の大爆発のため、多くの建物が火山灰の中に閉じ込められたといいます。

 さて、今回その壁画で見つかった模様とはいったい何なのか? ・・・その答えは「らせん模様」です。

 ふつう、らせんというのは、一般に次の式を用いて表現できます。

 x = R(θ) × cos(α(θ)),
 y = R(θ) × sin(α(θ)).

ここで R(θ)はθについての単調増加関数、α(θ)は任意の関数です。当然らせんには様々なものが考えられるわけですが、その中でも特に有名なのは次の3つです。(a,b,φは定数。)

(1) アルキメデスのらせん
 R(θ)=a×θ, α(θ)=θ-φ.
(2) 伸開線
 R(θ)=a×√(1+θ), α(θ)=θ-arctan(θ)-φ.
(3) 対数らせん
 R(θ)=a×eb×θ, α(θ)=θ-φ.

 このうち、(2)伸開線は、円筒に巻いた糸をたるまないように引っ張りながらほどいていったときにできる線に相当することが知られており、また(3)対数らせんは、よくある貝殻の模様で目にすることができます。いずれも、僕たちが自然界で見ることができる図形です。

アクロティリ遺跡壁画
 今回、アクロティリ遺跡で見つかったらせんとは、(1)のアルキメデスらせんだったのです。右の図は原論文(Papaodysseus C., et al. Archaeometry, 48. 97-114:下記リンク参照)より引用しました。伸開線や対数らせんと異なり、アルキメデスらせんは、自然界のどこにも見ることができません。すなわち、この図形は、当時のミノア人が、きわめて進歩的で実用的な幾何学の知識を持っていたことを示唆しているのです。これまでの認識では、アルキメデスがこの図形を考案したとされるのが紀元前300年だったのが、それよりもはるかに以前の紀元前1650年に既に考えられていたことになり、従来の考古学者たちの認識と大きく異なる発見なのだそうです。

 さらにコンピュータによる解析によると、この壁画の図形は、厳密な数学的図形と比べても、3分の1ミリもずれていないとのこと。はたして古代ミノア人はいかにしてこのような優れた作図方法を開発したのか? 議論が盛んになるところです。

【参考サイト】
DISTINCT, LATE BRONZE AGE (c. 1650 bc) WALL-PAINTINGS FROM AKROTIRI, THERA, COMPRISING ADVANCED GEOMETRICAL PATTERNS
(原論文)

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コメント (3)

綺麗山:

■そんな大昔に
別の火山灰の下の遺跡ポンペイは有名ですが、アクロティリというのは知りませんでした。
アルキメデスの時代よりも1000年以上も前にそんなに数学が発達してた可能性があるのはとても興味をそそります。この一点だけでも偶然にこの図形を作る可能性はまず無いんでしょうけれど、他の進んだ技術も見つかると面白そう。数学以外では発達していないのかな。
この町で高度な文明があったのなら他の地域でもこの時代に高度な文明があってもおかしくないはず。今後の調査が待ち遠しいです。


http://psychnote.ameblo.jp/
M3:

■自然界に見られない?
一定の太さを持った糸状のもの(紐、ロープ)をくるくる巻きつけたら出来そうな気がするのですけれども、厳密には違うのでしょうか?

riverplus:

■らせん
>綺麗山さん
 コメントありがとうございます。仰るとおり、偶然にこの図形ができたという可能性はかなり低いようです。元記事によると、図に見られる黒い点は、円を48等分する放射状の線にほぼ正確に乗っているということも明らかになっているそうです。
 数学の知識のみにかぎらず、作図のための道具を加工する技術とか、他にもいろんな技術をもっていたのだろうなと推測できますね。

>M3さん、コメントありがとうございます。
 アルキメデスのらせんは仰るやり方のと同一と思います(微細なズレはあるのでしょうが・・)。たぶん、ロープを引っぱりながらくるくる巻くという手順は人工的な要素が多く、自然発生的には到底起こり得ないのかなと推測します。
 ミノア人がロープの整理をしていたときにたまたま気付いたのですかね・・?


http://ameblo.jp/riverplus/

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