たまたま図書館で手にした、「πの神秘」という本を見て、おもしろいと思った箇所のメモ。
● 任意の整数ふたつを選ぶ。それらの整数が互いに素（公約数を持たない）となる確率は、６/π２ である。
これはもうただ、なんてキレイな関係なんだろう、と感じ入りました。これって本当に？
● 円周率が隠された詩がある。
Mike Keith という人が書いた、エドガー・アラン・ポーの「大鴉」のパロディで「Near a Raven（大鴉もどき）」という詩。
全文へのリンクはここ。
下記に、始めの数十語の部分を引用します。
いったい、下記のどこに円周率がひそんでいるか、分かりますか？
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Poe, E.
Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap - the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor.
"This", I whispered quietly, "I ignore".
とても暗く、疲れ果てた深夜。
かつての廃れた伝承を褒め称えた書物は、黙考している。
いささか長い眠りの最中に――怪しい物音が！
不吉な震える音は、私の部屋の扉をかき乱す。
「こんな音」私は静かにささやく。「放っておこう」
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
和訳は超適当。
実はこの詩、英単語の文字数を数字に置き換えると、数字が円周率（π＝３．１４１５９・・）を示すのです。
Poe→３、E→１、Near→４、a→１、Raven→５
という具合。
もちろんまだまだ続きがあります。すべての単語（７４０語）で成り立っているそうです。すごい。
● 円周率のどこの桁でも、一発で計算できてしまう方法。
ふつう、円周率のある桁の数字が知りたいと思ったときには、それまでのすべての桁の数字を把握している必要がありました。
たとえば、もし円周率の１０００桁目の数字が欲しければ、１から９９９桁を全部計算しないと求められませんでした。
ですが、１９９５年、David Bailey、Peter Borwein、Simon Plouffe により、下の式を使って、どこの桁であっても簡単に計算できるということが発見されました。
ただし、これは、円周率の１６進数での表現をもとめる公式です。
１０進数で表現したいときは、これをアレンジした方法が必要だそうです。ここに詳細あり（読んでない）。
さらに、円周率の任意の桁（１６進数表現）をもとめるプログラムがありました。
アルゴリズムがここ。ソースコードがここ。
アルゴリズムにちょっとした工夫をすることで、メモリ量をものすごく効率よくおさえながら計算できるようです。
別エントリにまとめました。 ⇒ 円周率の任意の桁を一発で計算する。
● ３.１４に秘められたパイ。
現在の多くの教育の場で教えられている、π≒３．１４ という簡略化した表記。
この３１４という数字を、下のように書いて、
鏡に映すと、
「ＰＩＥ」になるという話。
なんと、３．１４にはＰＩＥが秘められていた。
ある意味、４つの中でいちばんおどろきました（笑）。
コメント (5)
■πって不思議
４つとも面白く不思議なネタだね。一つ目は本当に不思議。何でパイが確率に関わってくるんだろう。二つ目は何となく分かったまたは知っていた気がする。でも良く出来てるね。僕としては３つ目が一番面白い。一桁ずつ計算すべきなのに、何でこんな式で分かっちゃうんだろう。続報をお待ちしています。
http://psychnote.ameblo.jp/
投稿者: 綺麗山 | 2005年05月08日 11:39
日時: 2005年05月08日 11:39
■無題
せっかく真面目な話のところにこれはないかもしれないが、
面白かったのでコメントします。
http://www.f7.dion.ne.jp/~moorend/news/2005020901.html
投稿者: D.I. | 2005年05月08日 21:28
日時: 2005年05月08日 21:28
■話題の宝庫な π
こんにちは。３つ目のは僕も本当に面白いと思いました。
こんな変わった形の計算式をどうやって考え付いたのか、すごく興味があるところですね。
自ＰＣ（Ath64）でプログラムを走らせてみたら、100万桁目の導出に約５秒。これって他と比べてどのぐらい速いんでしょうか。
そういえばちょうどタイムリーなニュースがありました。
円周率暗唱の最長記録が、会場の都合で断念になったという話。
http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20050505-00000020-san-soci
他にもネタor知識の提供をお待ちしております。^^
http://riverplus.ameblo.jp
投稿者: riverplus | 2005年05月11日 00:02
日時: 2005年05月11日 00:02
2つの整数が互いに素となる確率が6/π^2の証明書いてください。
投稿者: tnmhrk | 2007年11月23日 08:54
日時: 2007年11月23日 08:54
こんにちは。
もともとの本には証明はなく、結論の１行だけが載っていました。
なので完全に僕の推測ですが、おそらく、「Ｎ（十分大きいとする）以下の任意の整数をふたつ選ぶとき、それらが互いに素となる確率」をまず求め、そしてそれをＮ→∞に発散させたんだと思います。
この確率を得るには、任意に選んだふたつの整数が素数ｐを公約数にもたない確率をまず求めて、これをすべての素数について積をとればよい。
最後にこの積をＮ→∞にすると、これってオイラー表示にしたζ（２）の逆数に等しいよね（ζ：ゼータ関数）、ということで、６/（π＾２） が答えになる。
証明の詰めは僕には到底書けませんが；、方向性としてはこんなだと思います。
投稿者: riverplus | 2007年11月25日 13:24
日時: 2007年11月25日 13:24