« 「子供の科学」に恐れ入りました。 | メイン | 言葉への思いつき2点 »

円周率ネタ4つ

 たまたま図書館で手にした、「πの神秘」という本を見て、おもしろいと思った箇所のメモ。

 ● 任意の整数ふたつを選ぶ。それらの整数が互いに素(公約数を持たない)となる確率は、6/π である。

 これはもうただ、なんてキレイな関係なんだろう、と感じ入りました。これって本当に?

 ● 円周率が隠された詩がある。

 Mike Keith という人が書いた、エドガー・アラン・ポーの「大鴉」のパロディで「Near a Raven(大鴉もどき)」という詩。

 全文へのリンクはここ
 下記に、始めの数十語の部分を引用します。
 いったい、下記のどこに円周率がひそんでいるか、分かりますか?

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Poe, E.
  Near a Raven

Midnights so dreary, tired and weary.
  Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap - the weirdest tap!
  An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor.
    "This", I whispered quietly, "I ignore".

とても暗く、疲れ果てた深夜。
  かつての廃れた伝承を褒め称えた書物は、黙考している。
いささか長い眠りの最中に――怪しい物音が!
  不吉な震える音は、私の部屋の扉をかき乱す。
    「こんな音」私は静かにささやく。「放っておこう」

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 和訳は超適当。
 実はこの詩、英単語の文字数を数字に置き換えると、数字が円周率(π=3.14159・・)を示すのです。

 Poe→3、E→1、Near→4、a→1、Raven→5

 という具合。
 もちろんまだまだ続きがあります。すべての単語(740語)で成り立っているそうです。すごい。


円周率のどこの桁でも、一発で計算できてしまう方法。

 ふつう、円周率のある桁の数字が知りたいと思ったときには、それまでのすべての桁の数字を把握している必要がありました。
 たとえば、もし円周率の1000桁目の数字が欲しければ、1から999桁を全部計算しないと求められませんでした。
 ですが、1995年、David Bailey、Peter Borwein、Simon Plouffe により、下の式を使って、どこの桁であっても簡単に計算できるということが発見されました。

20050506a

 ただし、これは、円周率の16進数での表現をもとめる公式です。
 10進数で表現したいときは、これをアレンジした方法が必要だそうです。ここに詳細あり(読んでない)。

 さらに、円周率の任意の桁(16進数表現)をもとめるプログラムがありました。
 アルゴリズムがここ。ソースコードがここ
 アルゴリズムにちょっとした工夫をすることで、メモリ量をものすごく効率よくおさえながら計算できるようです。
 別エントリにまとめました。 ⇒ 円周率の任意の桁を一発で計算する。
 
3.14に秘められたパイ。

 現在の多くの教育の場で教えられている、π≒3.14 という簡略化した表記。
 この314という数字を、下のように書いて、

  20050506b

 鏡に映すと、

  20050506c

 「PIE」になるという話。

 なんと、3.14にはPIEが秘められていた。

 ある意味、4つの中でいちばんおどろきました(笑)。

トラックバック

このエントリーのトラックバックURL:
http://www.riverplus.net/cgi/mt/mt-tb.cgi/503

コメント (8)

綺麗山:

■πって不思議
4つとも面白く不思議なネタだね。一つ目は本当に不思議。何でパイが確率に関わってくるんだろう。二つ目は何となく分かったまたは知っていた気がする。でも良く出来てるね。僕としては3つ目が一番面白い。一桁ずつ計算すべきなのに、何でこんな式で分かっちゃうんだろう。続報をお待ちしています。


http://psychnote.ameblo.jp/
D.I.:

■無題
せっかく真面目な話のところにこれはないかもしれないが、
面白かったのでコメントします。

http://www.f7.dion.ne.jp/~moorend/news/2005020901.html

riverplus:

■話題の宝庫な π
 こんにちは。3つ目のは僕も本当に面白いと思いました。
 こんな変わった形の計算式をどうやって考え付いたのか、すごく興味があるところですね。
 自PC(Ath64)でプログラムを走らせてみたら、100万桁目の導出に約5秒。これって他と比べてどのぐらい速いんでしょうか。
 
 そういえばちょうどタイムリーなニュースがありました。
 円周率暗唱の最長記録が、会場の都合で断念になったという話。
 http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20050505-00000020-san-soci
 他にもネタor知識の提供をお待ちしております。^^


http://riverplus.ameblo.jp
tnmhrk:

2つの整数が互いに素となる確率が6/π^2の証明書いてください。

こんにちは。
もともとの本には証明はなく、結論の1行だけが載っていました。

なので完全に僕の推測ですが、おそらく、「N(十分大きいとする)以下の任意の整数をふたつ選ぶとき、それらが互いに素となる確率」をまず求め、そしてそれをN→∞に発散させたんだと思います。
この確率を得るには、任意に選んだふたつの整数が素数pを公約数にもたない確率をまず求めて、これをすべての素数について積をとればよい。
最後にこの積をN→∞にすると、これってオイラー表示にしたζ(2)の逆数に等しいよね(ζ:ゼータ関数)、ということで、6/(π^2) が答えになる。

証明の詰めは僕には到底書けませんが;、方向性としてはこんなだと思います。

杉野実:

「なぜπが出てくるのか」について、大変わかりやすい説明がありましたので、見てみてください。
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/spm/rerativelyprime02.pdf
(「互いに素である確率」で検索しても出てきます。)「ゼータ関数」などという、(いかにも)高級(そう)な事項に関しても、非常によい(「初等的な」)解説になっています。なるほどそうか、πが出てくるのは、なんとまあ、「三角関数のテイラー展開」なんかと関係があったのか...!

杉野実:

「初等的な」英単語のつづりがあやまっていました。
http://my.reset.jp/~gok/math/spm/relativelyprime02.pdf

匿名:

なにをかいわんや...。
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/spm/relativelyprime02.pdf

コメントを投稿