サイエンスものおきば

　【問題】
さいころをｎ個投げたとき、目の和がｋの倍数になる確率 a(k,n) を求めよ。

　という問題に取り組んでいます。
　昨日までの段階で、ｋの値が４、５、８の場合について、答えを導出することができました。
　
　･･･さて、ここに来て、とある一つの発見をしました。
　一般的なｋの値の場合についての発見です。
　ｋが４、５、８の場合の、答えの導出の過程を見ていて気づきました。
　
　それは、
　
　結果は、固有値のｎ乗の和を、ｋで割ったものになっている。
　
　というものです。
　
　したがって、ここから、以下の予想が立てられます。
　
【サイコロの確率に関する予想】
　さいころをｎ個投げたときの、目の和がｋの倍数になる確率 a(k,n) は、確率の遷移を x(n) ＝ Ａ * x(n-1) のように表現したときの、確率行列Ａの固有値 λ₀, ... ,λ_kを使って、

と書ける。

　もしこれが本当だとすると、かなり感動ですね。。
　
　はたして、ｋの値が４、５、８以外の場合についても、上記の予想は当たっているのか？
　チェックしてみました。
　ｋ＝２、３、６、７の場合については、比較的容易に答えを出すことができるので、上記の予想から得られる答えと一致しているかどうか見てみます。（参照：出題元）

【ｋ＝２の場合】
　確率行列は、
　
Ａ ＝ ｜1/2 1/2｜
　　　 ｜1/2 1/2｜

　です。この固有多項式は、(x-1) x です。
　ですから固有値は、λ₀ ＝ 1, λ₁ ＝ 0 となります。
　よって、
　
a(2,n)
＝ (1/2)×( λ₀ⁿ ＋ λ₁ⁿ )
＝ 1/2

　おお、確かに正しい答えが出ています。

【ｋ＝３の場合】
　確率行列は、
　
　　　 ｜1/3 1/3 1/3｜
Ａ ＝ ｜1/3 1/3 1/3｜
　　　 ｜1/3 1/3 1/3｜

　固有多項式は、- (x-1) x² です。
　固有値は、λ₀ ＝ 1, λ₁ ＝ 0, λ₂ ＝ 0 となります。
　λ₁, λ₂ は重根ですが、別個のものとして扱います。
　（ゼロなのでここでは意味はないです。）
　
a(3,n)
＝ (1/3)×( λ₀ⁿ ＋ λ₁ⁿ ＋ λ₂ⁿ)
＝ 1/3

　ｋ＝３の場合もオーケーです。

【ｋ＝６の場合】
　確率行列は略。
　固有多項式は、 (x-1) x⁵ です。
　固有値は、λ₀ ＝ 1, λ₁ ＝ λ₂ ＝ λ₃ ＝ λ₄ ＝ λ₅ ＝ 0 となります。
　よって、

　a(6,n)
＝ (1/6)×( λ₀ⁿ ＋ λ₁ⁿ ＋ λ₂ⁿ ＋ λ₃ⁿ ＋ λ₄ⁿ ＋ λ₅ⁿ)
＝ 1/6

　ｋ＝６の場合もオーケー。

【ｋ＝７の場合】
　確率行列は、
　
　　　 ｜　0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　　　 ｜1/6 　0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　　　 ｜1/6 1/6 　0 1/6 1/6 1/6 1/6｜
Ａ ＝ ｜1/6 1/6 1/6 　0 1/6 1/6 1/6｜
　　　 ｜1/6 1/6 1/6 1/6 　0 1/6 1/6｜
　　　 ｜1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 　0 1/6｜
　　　 ｜1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 　0｜

　固有多項式は、 -( x-1 ) ( x+1/6 )⁶ です。
　固有値は、λ₀ ＝ 1, λ₁ ＝ λ₂ ＝ λ₃ ＝ λ₄ ＝ λ₅ ＝ λ₆ ＝ -1/6 となります。
　よって、

　a(7,n)
＝ (1/7)×( λ₀ⁿ ＋ λ₁ⁿ ＋ λ₂ⁿ ＋ λ₃ⁿ ＋ λ₄ⁿ ＋ λ₅ⁿ ＋ λ₆ⁿ)
＝ (1/7)×( 1＋6×(-1/6)ⁿ)
＝ (1/7)×( 1－(-1/6)^n-1)

　よって、ｋ＝７の場合も予想が正しいことが示せました。

　どうやら、ｋの値が８までの全ての場合について、上記の予想は正しいようです。
　はたしてｋが９以上の場合についても、この予想は当たっているのか？
　だとすれば、それは証明可能なのか？
　固有値そのものは、ｋにどのように依存するのか？
　難問が山積みとなってしまいましたが、ひとまず面白い予想が立てられたので、非常に満足です。