サイエンスものおきば

　【問題】
さいころをｎ個投げたとき、目の和がｋの倍数になる確率 a(k,n) を求めよ。

　という問題が気になっているので、相変わらず挑戦しています。
　出題元はこのページ。
　
　これまでに、ｋの値が４のときと、５のときの答えを導出することができました。
　（ｋ＝４の場合は１月５日の記事、ｋ＝５の場合は２月７日の記事を参照。）
　ひとまずこれで、ｋが１から７までの場合の答えについては、導出が完了したことになります。
　（上記の出題元ページで、ｋ＝１、２、３、６、７の場合の答えが紹介されています。）
　
　さて、当初の思惑では、「ｋ＝５のときの答えを出すことで、一般的なｋの値について何か予測が立てられないだろうか？」という淡い期待を抱いていました。
　そういうわけでｋ＝５の場合の解答をがんばって導き出したにもかかわらず、一般的なｋの場合について、未だうまく予測が立てられないでいます。

　というわけで、今回は、ｋ＝８の場合について考えました。
　ひょっとしたらこ、これでもうちょっと予測について何か言えるかもしれない、という期待からです。
　
　やっと、答えが出せました。
　以下、導出の過程。
　
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　さいころをｎ個投げたときの、目の和が８の倍数になる確率を x₀(n) とおく。
　そして、目の和を８で割ったときの余りが１になる確率を x₁(n) とおく。
　同様に、余りが２になる確率、３になる確率、...、７になる確率を、それぞれ x₂(n), x₃(n), ... ,x₇(n) とおく。
　以上８つの確率を、列ベクトル形式で現したものを、
　
x(n) ＝ t( x₀(n), x₁(n), ... ,x₇(n) )
　
　とする。
　x(n) の漸化式は、行列Ａを用いて以下のように書ける。
　
　　x(n) ＝ Ａ * x(n-1)
　
　ここでＡは以下のような８次の正方行列である。
　
　　　　　｜ 　0　　0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6　　0　　0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6　　0　　0 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　 Ａ ＝ ｜1/6 1/6 1/6　　0　　0 1/6 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6 1/6 1/6　　0　　0 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6 1/6 1/6 1/6　　0　　0 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6　　0　　0｜
　　　　　｜ 　0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6　　0｜

　Ａの固有値を λ₀, λ₁, ... ,λ₇ は、Ｍａｘｉｍａを使って、以下のように得られる。

λ₀ ＝ 0
λ₁ ＝ (1/6)×(-ｉ/√2 - 1/√2 - 1 )
λ₂ ＝ (1/6)×( ｉ - 1 )
λ₃ ＝ (1/6)×(-ｉ/√2 + 1/√2 - 1 )
λ₄ ＝ 1
λ₅ ＝ (1/6)×( ｉ/√2 + 1/√2 - 1 )
λ₆ ＝ (1/6)×(-ｉ - 1 )
λ₇ ＝ (1/6)×( ｉ/√2 - 1/√2 - 1 )

　そして、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル ｕ₀, ｕ₁, ... ,ｕ₇ は、以下のようになる。

ｕ₀ ＝ ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 )
ｕ₁ ＝ ( 1, (ｉ+1)/√2, ｉ, (ｉ-1)/√2, -1, (-ｉ-1)/√2, -ｉ, (-ｉ+1)/√2)
ｕ₂ ＝ ( 1, ｉ, -1, -ｉ, 1, ｉ, -1, -ｉ )
ｕ₃ ＝ ( 1, (ｉ-1)/√2, -ｉ, (ｉ+1)/√2, -1, (-ｉ+1)/√2, ｉ, (-ｉ-1)/√2)
ｕ₄ ＝ ( 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 )
ｕ₅ ＝ ( 1, (-ｉ-1)/√2, ｉ, (-ｉ+1)/√2, -1, (ｉ+1)/√2, -ｉ, (ｉ-1)/√2)
ｕ₆ ＝ ( 1, -ｉ, -1, ｉ, 1, -ｉ, -1, ｉ )
ｕ₇ ＝ ( 1, (-ｉ+1)/√2, -ｉ, (-ｉ-1)/√2, -1, (ｉ-1)/√2, ｉ, (ｉ+1)/√2)
　
　ここで、数列 {ｕ_j ・ x(n)} （ j は０～７） が、初項 ｕ_j ・ ｘ(１) 、公比 λ_j の等比数列と見なせる。
　実際に計算してみると、

ｕ_j ・ x(n) ＝ λ_jⁿ

　となることがわかる。（おお、むちゃくちゃきれいだ。）
　つまり、
　
ｕ₀ ・ x(n) ＝ 1
ｕ₁ ・ x(n) ＝ λ₁ⁿ
ｕ₂ ・ x(n) ＝ λ₂ⁿ
ｕ₃ ・ x(n) ＝ λ₃ⁿ　　　...　(＊)
ｕ₄ ・ x(n) ＝ 0
ｕ₅ ・ x(n) ＝ λ₅ⁿ
ｕ₆ ・ x(n) ＝ λ₆ⁿ
ｕ₇ ・ x(n) ＝ λ₇ⁿ
　
　である。
　
　対角化行列Ｐの逆行列Ｐ^-1を、(＊)式の左から作用させると、x(n) を得ることができる。
　（なお、Ｐ、Ｐ^-1 の具体的な形については、ここでは省略。）
　
　以上の計算をすると、x₀(n) は以下のようになる。
　
x₀(n) ＝ (1/8)×( 1 + λ₁ⁿ + λ₂ⁿ + λ₃ⁿ + λ₅ⁿ + λ₆ⁿ + λ₇ⁿ )

　λ₂ⁿ と λ₆ⁿ の和については、以前にやっているので、それを使って式を簡単にできる。

x₀(n) ＝ (1/8) + (1/4)×(-√2/6)ⁿ×cos(nπ/4)
　　　　+ (1/8)×( λ₁ⁿ + λ₃ⁿ + λ₅ⁿ + λ₇ⁿ )　･･･　(答)

ただし、

λ₁ ＝ (1/6)×(-ｉ/√2 - 1/√2 - 1 )
λ₃ ＝ (1/6)×(-ｉ/√2 + 1/√2 - 1 )
λ₅ ＝ (1/6)×( ｉ/√2 + 1/√2 - 1 )
λ₇ ＝ (1/6)×( ｉ/√2 - 1/√2 - 1 )

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　途中の経緯はかなりアヤシイですが、なんとか、おそらく正しいと思われる結果を出すことができました。
　一応、ｎ＝６まで、手計算の結果と一致していることを確認してます。
　式の最後の部分が、もうちょっとシンプルな形に整理できるような気がしますが、まあ今回は許容範囲。

　･･･と、さてここまで来てついに、一つの面白い発見をしてしまいました。
　一般的なｋの場合の答えを示唆する内容です。
　しかし、今日はもうこれで疲れてしまったので、続きは次回。

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【追記】
　もうちょっとシンプルな表記で書けることに気づきました。
　λ₁, λ₃, λ₅, λ₇ は、次のように書くこともできます。
　
λ₁ ＝ (-1/6)×√(2+√2)×( cos( π/8)+ｉsin( π/8) )
λ₃ ＝ (-1/6)×√(2-√2)×( cos(3π/8)+ｉsin(3π/8) )
λ₅ ＝ (-1/6)×√(2-√2)×( cos(5π/8)+ｉsin(5π/8) )
λ₇ ＝ (-1/6)×√(2+√2)×( cos(7π/8)+ｉsin(7π/8) )

　･･･こっちの方が、何かを暗示している表現ですね(笑)。
　これらを使って、x₀(n) を整理すると、

x₀(n) ＝ (1/8) + (1/4)×(-√2/6)ⁿ×cos(nπ/4)
　　　　+ (1/4)×(-√(2+√2)/6)ⁿ×cos(nπ/8)
　　　　+ (1/4)×(-√(2-√2)/6)ⁿ×cos(3nπ/8)

　となります。
　やっと虚数を使わない形で書けましたね。