サイエンスものおきば

　以前、１月２９日の日記で、聖ペテルスブルグのパラドックスを紹介しました。

　この問題に関して、グーグルでいろいろと検索してみました。
　Stanford Encyclopedia of Philosophyのこのページで、非常に詳しい解説が載っていることを発見しました。
　ですが、日本語での記事となると、なかなかどうも見当たりません。
　問題の簡単な紹介・説明をしているページや、ファイナンス理論の話題の一つとして軽く触れているページはいくつかあるのですが、上記のページのような、この問題に限定して深く論じたものとなると、どうも英語のページ限定となってしまうようです。

　というわけで、よし、せっかくだし訳してみようか、と思い立ってしまいました。
　
　自分の考えをまとめるのは後回しにして、ただひたすら、粛々と訳し続ける。
　自分の英語能力の無さに、すっかり辟易しながらの作業です。
　ひとまず、前章と第１章の訳を、以下に掲載。
　誤訳・珍訳は覚悟の上。

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聖ペテルスブルグのパラドックス

前章

　聖ペテルスブルグのゲームは、一枚の適正なコインを、裏が出るまで投げることによって行われる。賞金は、コインを投げた回数ｎによって決まり、それは２＾ｎドルに等しい。だから、もし１回目にコインの裏が出たなら、賞金は２＾１＝２ドルとなり、ゲームは終了である。もし１回目に表が出たなら、もう一度コインを投げる。２回目に裏が出たなら、賞金は２＾２＝４ドルとなり、ゲームは終了である。表だったらもう一度投げる。後はこの繰り返しである。起こり得る「結果」（表表･･･表表裏）の数は無限にある。コインを投げた回数がｎ回という結果の確率（「P(n)」とする）は、１を２＾ｎで割ったものであり、それぞれの結果の「期待利得」は、賞金に、その確率をかけたものになる。以下の表は、ｎ＝１...１０の結果に対する数字を示している。

ｎ　確率　　　 賞金　　期待利得
１　１/２　　　　＄２　　　 ＄１
２　１/４　　　　＄４　　　 ＄１
３　１/８　　　　＄８　　　 ＄１
４　１/16　　　 ＄16　　　＄１
５　１/32　　　 ＄32　　　＄１
６　１/64　　　 ＄64　　　＄１
７　１/128　　 ＄128　 　＄１
８　１/256　　 ＄256　 　＄１
９　１/512　　 ＄512　 　＄１
10　１/1024　＄1024　　＄１

このゲームの「期待値」は、全ての結果の期待利得の合計になる。起こり得る各結果の期待利得は１ドルであり、それらは無限にあるのだから、この合計は無限ドルになる。理性的なギャンブラーなら、期待値よりもゲームの参加費の方が小さければ、ゲームに参加する。この聖ペテルスブルグのゲームでは、参加費が有限であるなら、いくらであってもそれはゲームの期待値より小さい。したがって、理性的なギャンブラーなら、参加費がどれだけ大きくともゲームに参加をする。しかし、明らかに、そのような参加料は高すぎて、理性的な人にとって支払えない。多くの解説者は、Hacking（1980）の見積もりに同意している。「ゲームの参加料が２５ドルだったとしても、ほとんどの人は支払わないであろう。」　もしこれが正しいのなら、上記の標準的な決定理論の期待値計算に、どこか誤りがあることになる。スイスの１８世紀の数学者 Daniel Bernoulli（1738; 英語には1954年に翻訳） によって発見されたこの問題を、聖ペテルスブルグのパラドックスという。

第１章　限界逓減効用
第２章　リスク回避
第３章　効用の上限
第４章　有限個の結果
第５章　無限大の値？
第６章　理論と実践

１．限界逓減効用

　Bernoulli はこの問題に答えるために、次のような観察をした。計算の誤りは、期待されるドルの利得を足していることによって生じているのであり、正しくは、各結果の期待効用を足すべきである。概略を言うと、彼は、金銭には限界逓減効用がある、という広く受け入れられる原理を提案し、金銭の効用の現実的尺度は、金銭の量の対数によって与えられるだろうと主張した。（効用）＝ｌｏｇ（ドル）とするならば、この賭けの表のはじめの数行は、次のようになる。

ｎ　確率　　　　賞金　　効用　 期待効用
１　１/２　　　　＄２　　 0.301　0.1505
２　１/４　　　　＄４　　 0.602　0.1505
３　１/８　　　　＄８　　 0.903　0.1129
４　１/16　　　 ＄16　　1.204　0.0753
５　１/32　　　 ＄32　　1.505　0.0470
６　１/64　　　 ＄64　　1.806　0.0282
７　１/128　　 ＄128　 2.107　0.0165
８　１/256　　 ＄256　 2.408　0.0094
９　１/512　　 ＄512　 2.709　0.0053
10　１/1024　＄1024　3.010　0.0029

期待効用の和は無限大とはならない。およそ 0.60206 の効用で極限に達する（これは４ドルの価値に相当する）。理性的なギャンブラーなら、４ドル以下の参加料で、賭けに参加するだろう。

　しかしながら、パラドックスへのこのような回答は、不十分である。限界効用逓減を認め、そして、（議論のため、）ドルの対数をとることがドルの効用の妥当な計算法であると認めよう。すると、提案されたように、聖ペテルスブルグのゲームはパラドックスを示さない。しかし、ただ賞金を変えるだけで、容易に、パラドックス持つ聖ペテルスブルグのゲームを作り上げることができる。例えば、ｎ回続いたときに２＾ｎドル支払われるのでなく、１０を２＾ｎ乗した金額のドルを賞金にしてみよう。このゲームの表は次のようになる。

ｎ　確率　　　　賞金　　　　効用　期待効用
１　１/２　　　　＄10＾２　　　２　　１
２　１/４　　　　＄10＾４　　　４　　１
３　１/８　　　　＄10＾８　　　８　　１
４　１/16　　　 ＄10＾16　　16　　１
５　１/32　　　 ＄10＾32　　32　　１
６　１/64　　　 ＄10＾64　　64　　１
７　１/128　　 ＄10＾128　 128　 １
８　１/256　　 ＄10＾256　 256　 １
９　１/512　　 ＄10＾512　 512　 １
10　１/1024　＄10＾1024　1024　１

　このバージョンでは、もともとのバージョンよりもずっと大きな賞金を含んでいる。そしてギャンブラーは、推定されるように、もともとのバージョンよりも多くの参加料を、このバージョンでは支払おうとするだろう。しかし、このゲームの期待値（最右列の無限級数の和）は無限大となり、パラドックスが再び発生する。

　もちろん、実際どのようにドルが効用と関連付けされるかは明確ではないが、一般化された、パラドックスを含む聖ペテルスブルグのゲームを次のように考えることができる（Paul Weirich(1984)、Menger（1967））。効用が、ドルまたは他の財貨にどのように変換されようとも、コイン投げがｎ回続いたときに２＾ｎの効用に相当する賞金を与えることにする。このゲームは無限大の期待値を持つことになり、理性的なギャンブラーは、参加料がどれだけ高額であっても支払うべきである。ここでは話を簡単にするため、この一般化されたバージョンのゲームを無視することにし、もともとのドルの賞金のバージョンについて議論を続ける。しかしながら、ドルの限界逓減効用により、パラドックスを発生させるためには賞金を見直す必要がある、ということは認識しておく。

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　ここまでの内容は、日本語のページでも比較的いろいろな場所で見受けることができるようです。
　問題は、第２章以降ですね。。。
　２章の２/３ほどを粗く訳してみたのですが、読んでてさっぱり分かる気がしません；
　忍耐が続いたら、いつか続きを掲載です。