« サイコロの確率と格闘する ~5の倍数編~ (1) | メイン | サイコロの確率と格闘する ~5の倍数編~ (3) »

サイコロの確率と格闘する ~5の倍数編~ (2)

【問題】
さいころをn個投げたとき、目の和がkの倍数になる確率 a(k,n) を求めよ。

 ・・・という問題を解決するべく、あれこれ格闘しています。
 本日は第2回。

 前回までに、行列A(参照)の固有値 λi (i は0~4)を導出しました。
 
 λ0 = 1
 λj = (1/6) * exp( 2 j π i / 5 ) ( j は1~4)
 
 となります。
 
 さて本日は、これらの固有値に対応する固有ベクトルuj ( j は0~4)を求めてみます。

 λ0 に対応する固有ベクトルが u0 = (1,1,1,1,1) なのはいいとして、他の λ1 から λ4 をどう計算するかが難しいところですね。
 ひとまず、例によってMaximaに丸投げです。
 
 ・・・ですが、そんなにうまくはいきません。
 数式処理ソフトでありがちな、根号が複雑に織り絡まった出力がわらわらと出てくる有様です。
 おそらくはそのまま代数的に計算して固有ベクトルを求めてくれているのでしょう。
 exp 等を使ってスマートな形にまとめる、ということはしないようです。
 だったらどうすれば対応してくれるのかな・・・とマニュアルを読むのですが、結局分からない。
 
 半ば諦めだしてきて、もうダメ元で、そのごちゃごちゃした表現を手計算で整理してみることに。
 そうしたらなんと、意外にキレイな形でまとまってしまいました。
 
1 = ( 1, exp(2πi/5), exp(4πi/4), exp(-4πi/5), exp(-2πi/5) )
2 = ( 1, exp(4πi/5), exp(-2πi/5), exp(2πi/5), exp(-4πi/5) )
3 = ( 1, exp(-4πi/5), exp(2πi/5), exp(-2πi/5), exp(4πi/5) )
4 = ( 1, exp(-2πi/5), exp(-4πi/5), exp(4πi/5), exp(2πi/5) )

 
 固有値同様、これまた非常に美しい形の固有ベクトルですね。。
 続きにもかなり期待が持てます。
 

 
 さて、今後の方針は、数列 { uj ・ x(n) } が公比 λj の等比数列になることから、{ uj ・ x(n) } の一般形を求めて、そこから x(n) を導出して解決! ・・・といきたいところです。
 なのですが、どうやって x(n) に戻すか、というところでたいへん難儀しています。
 進展があれば、また次回。

トラックバック

このエントリーのトラックバックURL:
http://www.riverplus.net/cgi/mt/mt-tb.cgi/475