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サイコロの確率と格闘する ~5の倍数編~ (1)

 以前にこのブログで、こんな問題を紹介しました。
 
【問題】
さいころをn個投げたとき、目の和が4の倍数になる確率 a(n) を求めよ。

 このページから引用したものです。
 問題のシンプルさといい、最終的な答を出し終えたときの爽快感といい、僕の中では最高にお気に入りの問題でした。
 解答も非常にキレイな形をしています。
 
  a(n) = 1/4 + (1/2)×(-√2/6)n × cos(45n)
 
 実際の導出の仕方は、この1月5日の記事を参照して下さい。


 さて、最近になって、新しい欲求が生まれてきました。

 次のような問題は果たして解けるのだろうか?
 
【問題】
さいころをn個投げたとき、目の和がkの倍数になる確率 a(k,n) を求めよ。

 このページでも紹介されている問題です。
 さっきの4の倍数の場合を、より一般化させた問題です。
 
 果たして、どんな答が出てくるのか、非常に気になるところです。
 4の倍数になる確率があれだけキレイな形なのだから、ひょっとしたら、一般的なkの倍数になる確率も、同様に非常にシンプルで美しい形をしてるんじゃないか? と思うわけです。
 取り組んでみることにしました。

 とは言ったものの、おそらくこの問題は、大変な難問になることが予想されます。
 そういうわけで今回は、いきなり一般的なkの場合を考えるのは置いておいて、まずk=5の場合から考えてみようとか思います。
 上のページが言うには、k=5のときはやめておいたほうが身のためでしょう、とのことなのですが。
 力の続く限り(そして気の向く限り)、やってみようと思います。
 
 ・・・と言うことで、ひとまず今晩の分の成果。
 
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 さいころをn個投げたときの、目の和が5の倍数になる確率を x0(n) とおきます。

 そして、目の和を5で割ったときの余りが1になる確率を x1(n) とおきます。
 同様に、余りが2になる確率、3になる確率、4になる確率を、それぞれ x2(n), x3(n), x4(n) とおきます。
 
 以上5つの確率を列ベクトルで表現したもの:
  t( x0(n), x1(n), x2(n), x3(n), x4(n) )
 を、 x(n) と書きます。
 (表記の都合で横書きですが、列ベクトルです。)
 
 さて、x(n) の漸化式は、行列Aを用いて以下のように書けます。
 
  x(n) = A * x(n-1)
 
 行列Aは、以下で与えられます。
 
     |1/6 1/6 1/6 1/6 2/6|
     |2/6 1/6 1/6 1/6 1/6|
  A = |1/6 2/6 1/6 1/6 1/6|
     |1/6 1/6 2/6 1/6 1/6|
     |1/6 1/6 1/6 2/6 1/6|
 
 上の式の「*」は、行列とベクトルの積を表します。
 
 ひとまず、このAに関して、いろいろ調べてみます。
 この行列の固有多項式を、Maximaを使って計算させました。
 結果、固有多項式 f(x) は、以下のようになります。

  f(x) 
= (1/1296) * ( 1296*x5 - 1080*x4 - 180*x3 - 30*x2 - 5*x - 1 )
= (1/1296) * ( x-1 ) * ( 1296*x4 + 216*x3 + 36*x2 + 6*x + 1 )

 ここで 6*x = y と置き換えると、

  f(x)
= (1/1296) * ( y/6-1 ) * ( y4 + y3 + y2 + y + 1 )

 ・・・おお、来ました来ました。
 この根って、1の5乗根になるんですね。
 
 したがって、Aの固有値は、と、
 
  (1/6) * exp( 2 * j * π * i / 5) ( j は1~4)
 
 の5つとなります。( i は虚数単位。)
 
-------------------------------------------------------------

 むちゃくちゃキレイな形の固有値が出てきました。
 そうそう、大事なことを言い忘れてましたが、基本スタンスは、
 「ややこしそうな計算は機械任せ優先で」
 です(笑)。
 
 続き(がもしあれば)は、次回。

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コメント (2)

asahishinbun:

■わかんない!!!!
超文系のワタシにはムズカシすぎる。。
カシコイですね。ソンケー。
今度是非、数学に弱い大人のための
算数教室してください。。。


http://asahishinbun.ameblo.jp/
riverplus:

■不安ながら・・
いやもう恐れ入ります。。m(_ _)m
理系な方が読んで、意味が成り立ってないぞ! と突っ込まれないかどうか、不安になりながら書いています^^;。

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