サイエンスものおきば

　以前にこのブログで、こんな問題を紹介しました。
　
【問題】
さいころをｎ個投げたとき、目の和が４の倍数になる確率 a(n) を求めよ。

　このページから引用したものです。
　問題のシンプルさといい、最終的な答を出し終えたときの爽快感といい、僕の中では最高にお気に入りの問題でした。
　解答も非常にキレイな形をしています。
　
　　a(n) = 1/4 + (1/2)×(-√2/6)ⁿ × cos(45n)
　
　実際の導出の仕方は、この１月５日の記事を参照して下さい。

　さて、最近になって、新しい欲求が生まれてきました。

　次のような問題は果たして解けるのだろうか？
　
【問題】
さいころをｎ個投げたとき、目の和がｋの倍数になる確率 a(k,n) を求めよ。

　このページでも紹介されている問題です。
　さっきの４の倍数の場合を、より一般化させた問題です。
　
　果たして、どんな答が出てくるのか、非常に気になるところです。
　４の倍数になる確率があれだけキレイな形なのだから、ひょっとしたら、一般的なｋの倍数になる確率も、同様に非常にシンプルで美しい形をしてるんじゃないか？ と思うわけです。
　取り組んでみることにしました。

　とは言ったものの、おそらくこの問題は、大変な難問になることが予想されます。
　そういうわけで今回は、いきなり一般的なｋの場合を考えるのは置いておいて、まずｋ＝５の場合から考えてみようとか思います。
　上のページが言うには、ｋ＝５のときはやめておいたほうが身のためでしょう、とのことなのですが。
　力の続く限り（そして気の向く限り）、やってみようと思います。
　
　･･･と言うことで、ひとまず今晩の分の成果。
　
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　さいころをｎ個投げたときの、目の和が５の倍数になる確率を x₀(n) とおきます。

　そして、目の和を５で割ったときの余りが１になる確率を x₁(n) とおきます。
　同様に、余りが２になる確率、３になる確率、４になる確率を、それぞれ x₂(n), x₃(n), x₄(n) とおきます。
　
　以上５つの確率を列ベクトルで表現したもの：
　　ｔ( x₀(n), x₁(n), x₂(n), x₃(n), x₄(n) )
　を、 x(n) と書きます。
　（表記の都合で横書きですが、列ベクトルです。）
　
　さて、x(n) の漸化式は、行列Ａを用いて以下のように書けます。
　
　　x(n) ＝ Ａ * x(n-1)
　
　行列Ａは、以下で与えられます。
　
　　　　　｜1/6 1/6 1/6 1/6 2/6｜
　　　　　｜2/6 1/6 1/6 1/6 1/6｜
　 Ａ ＝ ｜1/6 2/6 1/6 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6 2/6 1/6 1/6｜
　　　　　｜1/6 1/6 1/6 2/6 1/6｜
　
　上の式の「*」は、行列とベクトルの積を表します。
　
　ひとまず、このＡに関して、いろいろ調べてみます。
　この行列の固有多項式を、Ｍａｘｉｍａを使って計算させました。
　結果、固有多項式 f(x) は、以下のようになります。

　 f(x)　
＝ (1/1296) * ( 1296*x⁵ - 1080*x⁴ - 180*x³ - 30*x² - 5*x - 1 )
＝ (1/1296) * ( x-1 ) * ( 1296*x⁴ + 216*x³ + 36*x² + 6*x + 1 )

　ここで 6*x ＝ y と置き換えると、

　 f(x)
＝ (1/1296) * ( y/6-1 ) * ( y⁴ + y³ + y² + y + 1 )

　･･･おお、来ました来ました。
　この根って、１の５乗根になるんですね。
　
　したがって、Ａの固有値は、１と、
　
　　(１/６) * exp( ２ * ｊ * π * ｉ / ５)　（ ｊ は１～４）
　
　の５つとなります。（ ｉ は虚数単位。）
　
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　むちゃくちゃキレイな形の固有値が出てきました。
　そうそう、大事なことを言い忘れてましたが、基本スタンスは、
　「ややこしそうな計算は機械任せ優先で」
　です(笑)。
　
　続き（がもしあれば）は、次回。