サイエンスものおきば

　前回、前々回と、「ｎ個のサイコロを投げて出た目の和が５の倍数になる確率」を求めるべく、奮闘しています。

　日曜日の午後をまるまる使って、やっと答を出すことができました。
　
　答えを先に書きます。
　ｎ個のサイコロを投げて、目の和が５の倍数になる確率 x₀(n) は、
　
x₀(n) ＝ (1/5) ＋ (2/5)×(1/6)^ｎ×(cos(2πｎ/5)＋cos(4πｎ/5))
　
　です。あるいは、
　
x₀(n) ＝ ｛ (1/5) ＋ (4/5)×(1/6)^ｎ　（ｎが５で割り切れるとき）
　　　　　 ｛ (1/5) － (1/5)×(1/6)^ｎ　（上以外のとき）

　と書いても同じです。
　後者の方が分かりやすいですかね。
　
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　以下、上記の結果の導出法。（前回からの続き。）
　
　行列Ａ（参照）の固有値を λ_ｊ 、対応する固有ベクトルを ｕ_ｊ とすると（ ｊ は０～４）（参照）、固有値・固有ベクトルの定義より、

　ｕ_j ・ ｘ(ｎ) ＝ λ_j ・ ｕ_j ・ ｘ(ｎ－１)
　
　とできる。
　つまり、数列 {ｕ_j ・ ｘ(ｎ)} を、初項 ｕ_j ・ ｘ(１) 、公比 λ_j の等比数列と見なせる。
　したがって、
　
　ｕ_j・ｘ(ｎ) ＝ (ｕ_j・ｘ(１)) × λ_j^ｎ－１
　
　前回の結果を使って、右辺の部分を計算すると、
　
　ｕ_０・ｘ(ｎ) ＝ １
　ｕ_１・ｘ(ｎ) ＝ (１/６)^ｎ × exp(２πｉｎ/５)
　ｕ_２・ｘ(ｎ) ＝ (１/６)^ｎ × exp(４πｉｎ/５)　　　...　(＊)
　ｕ_３・ｘ(ｎ) ＝ (１/６)^ｎ × exp(－４πｉｎ/５)
　ｕ_４・ｘ(ｎ) ＝ (１/６)^ｎ × exp(－２πｉｎ/５)
　
　上の式の左辺は、ベクトル形式でまとめて書くと、次の行列
　
　　　 ｜1,　　　　　　　1,　　　　　　　1,　　　　　　　1,　　　　　　　1 ｜
　　　 ｜1, exp( 2πi/5), exp( 4πi/5), exp(-4πi/5), exp(-2πi/5) ｜
Ｐ ＝ ｜1, exp( 4πi/5), exp(-2πi/5), exp( 2πi/5), exp(-4πi/5) ｜
　　　 ｜1, exp(-4πi/5), exp( 2πi/5), exp(-2πi/5), exp( 4πi/5) ｜
　　　 ｜1, exp(-2πi/5), exp(-4πi/5), exp( 4πi/5), exp( 2πi/5) ｜
　
　を使って、 Ｐ・ｘ(ｎ) と書ける。ここで、

　　　　　　　　　　 ｜1,　　　　　　　1,　　　　　　　1,　　　　　　　1,　　　　　　　1 ｜
　　　　　　　　　　 ｜1, exp(-2πi/5), exp(-4πi/5), exp( 4πi/5), exp( 2πi/5) ｜
Ｐ^-1 ＝ (1/5)×｜1, exp(-4πi/5), exp( 2πi/5), exp(-2πi/5), exp( 4πi/5) ｜
　　　　　　　　　　 ｜1, exp( 4πi/5), exp(-2πi/5), exp( 2πi/5), exp(-4πi/5) ｜
　　　　　　　　　　 ｜1, exp( 2πi/5), exp( 4πi/5), exp(-4πi/5), exp(-2πi/5) ｜

　だから、この Ｐ^-1 を、ベクトル形式でまとめた(＊)式に左から作用させて、ｘ(ｎ) を得ることができる。
　第１成分（x₀(n)）が目的の確率。
　
　x₀(n) ＝ (1/5) ＋ (1/5)×(1/6)^ｎ×(exp(2πｉｎ/5)＋exp(4πｉｎ/5)＋exp(-4πｉｎ/5)＋exp(-2πｉｎ/5))
　
　これを整理して、
　
　x₀(n) ＝ (1/5) ＋ (2/5)×(1/6)^ｎ×(cos(2πｎ/5)＋cos(4πｎ/5))

　を得る。
　
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　出来上がったときは、本当に身体の力が抜けていく感じがしました。
　あー、やっとできた、というような。
　あっさり書いてますが、Ｐ^-1 の導出あたりでものすごく苦労してます。
　大学のときの数学の知識がけっこう頭から抜けてしまっているので、過程に誤りを含む可能性が非常に高いです。（結果は合ってると思いますが。。。）

　･･･さて、一般形の場合はどうしましょう。
　やる気が起きれば、また次回。