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日経サイエンスの懸賞パズルに挑む(3)

 日経サイエンス400号記念の懸賞問題にチャレンジ中。
 
http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/puzzle/puzzle0502/question.html

 最終問題の問3に取り掛かっています。
 会社の同僚に話してみたところ、結構多くの人が乗って聞いてくれました。
 
【問3】
 今度は,1から9までの数字が現れる順番にはこだわらず,数式の長さ・短さを競って下さい。四則に限らず,三角関数,微分積分,順列など高校程度の数学で使われるものならなんでもよいとします。数字はそれぞれ1回しか使えませんが,定数(π,e,iなど)は何度でも使えます。
 できるだけ長い数式を作って下さい。

 注釈に書いてありますが、「いくらでも式をのばせるような仕組み」を使うことは禁止だそうです。
 つまり、例えば「×π÷π」を何回も続けて書くというのはダメなわけです。
 他にも、「log(exp(3))」や「sin(3-2-1)」といったふうな表現も禁止。

 さて、どんな演算を使ってもOKなどと言われると、かえって何をすればよいか、途方に暮れてしまいます。
 指数関数もOKとありますが、果たしてこれを使ったところでどうやって整数の答えが出せるというのか。
 ・・・そこで、問2のときにも使った、ガウス記号をここでも使ってみようという発想に至ります。
 そもそも、小数→整数に直せるというガウス記号は、はっきり言って最強の演算ではないかと思えるわけです。
 三角関数や指数関数を使ってぐちゃぐちゃの小数になったところで、ガウス記号で整数化すれば良いのですから。
 一番の問題は、数学的な美的センスに著しく欠けていることでしょうか。
 しかしそれでも、果たして実際に400を作ることができるかどうか、試してみたくなりました。

 というわけで、1~9の各数字に三角関数や指数関数を12回演算し、そのガウス記号を取ったものの和で400を表現するよう、プログラムを作ってみました。
 そして、その結果出てきた答がこれ。

 [exp(exp(exp(sin(sin(cos(exp(exp(exp(cos(sin(sin(1))))))))))))]
+ [exp(exp(exp(sin(sin(cos(exp(exp(cos(cos(exp(cos(2))))))))))))]
+ [exp(exp(exp(cos(exp(exp(exp(cos(sin(exp(sin(exp(3))))))))))))]
+ [exp(exp(exp(sin(sin(exp(exp(cos(sin(sin(cos(exp(4))))))))))))]
+ [exp(exp(exp(sin(exp(exp(exp(exp(sin(exp(sin(exp(5))))))))))))]
+ [exp(exp(exp(sin(cos(exp(sin(exp(exp(cos(exp(exp(6))))))))))))]
+ ...
+ [exp(exp(exp(sin(sin(exp(exp(cos(sin(sin(sin(exp(9))))))))))))]

= [44.357397] + [45.683404] + [44.440939] + [44.990710] + [45.636213]
+ [44.941717] + [45.504981] + [45.694271] + [44.183854]

= 44 + 45 + 44 + 44 + 45 + 44 + 45 + 45 + 44

= 400
([...]は、カッコ内の数を超えない最大の整数)

 完成した答えを見て、思わず笑ってしまいそうになりました。
 演算回数は合計125回。
 数学的な美的観点から見れば、この上なくひどい、興醒めな解答であることは間違いないと思います。

 気になる点が一つ。
 このやり方は、いくらでも式をのばせる仕組みを禁止するルールに違反する、との指摘を受ける可能性があるということです。
 今回は各数字の演算回数を12回に限定して探索を行いましたが、原理的には12回どころか、15回でも18回でもいくらでも増やして探索することが可能だからです。
 しかし、そのような指摘には、次のような反論が可能であることにも気が付きました。
 本当に「いくらでものばせる」ことを証明することができますか?
 この解答で本当に投稿するかどうか、一度保留しようと思います。

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