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日経サイエンスの懸賞パズルに挑む(1)

 日経サイエンスにて、創刊400号特別企画ということでこんな懸賞パズルをやってました。
 なんとなく面白そうだったので、コンピュータの力を借りて取り組んでみることにしましょう。

http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/puzzle/puzzle0502/question.html

 1から9までの数字を使った、算数のパズルです。
 今回出題されたのは全部で3問。
 問題の詳しいルールはリンク先を参照なのですが、一応ここでも簡単に引用します。

【問1】
□1□2□3□4□5□6□7□8□9□
の□に四則の演算子(+,-,×,÷)や空白、カッコの記号を入れて、答えが400になるようにして下さい。

 小町算と呼ばれる問題だそうです。ちなみに、
解答例:1×2÷3×4×5× (6+7+8+9) = 400
 だそう。他にもいろいろ正解のパターンはあるので「面白い例を見つけて下さい。」とのこと。

 まあたぶん適当に記号を当てはめていったら正解が見つかるのでしょう。
 あまり興味が湧かなかったので、パスして問2に挑戦。

 今度は,1から9までの数字が現れる順番にはこだわらず,数式の長さ・短さを競って下さい。四則に限らず,三角関数,対数関数,微分積分,ベクトルや行列,順列など高校程度の数学で使われるものならなんでもよいとします。数字はそれぞれ1回しか使えませんが,定数(π,e,iなど)は何度でも使えます。
【問2】
 できるだけ短い数式を作って下さい。
解答例: (4×5)^2×1^36789 = 400
【問3】
 できるだけ長い数式を作って下さい。
解答例: sin (3!×5°) ×|2+6×i|^4÷ (18-9-7) = 400
(iは虚数単位。||は絶対値記号。)

 注釈によると、式の長さは演算の個数で決めるのだそうです。
 つまり問2の解答例だと、乗算とべき乗が2回ずつ行われているので、長さは4となります。
 (カッコや定数、数字は数えない。べき乗演算や行列演算,定積分も1個と数える。)
 問3の解答例は、長さが11となります。
 以上をもとに、これらの解答例よりも優れた解答を作ってね、というのが問題です。

 直感的に問2の方が易しそうです。こっちから考えることに。

 ていうかこの問2、解答例の長さ4でもずいぶん短いじゃないか。
 それ以下の長さといえば、あとは1か2か3の場合だけ。
 長さ1の数式なんて、演算が1回しか使えないわけで、これはちょっと無理がありそう。

 というわけで、長さ2で何かよいのないのかな・・・と考えてるときに、ふっと気付きました。
 「ガウス記号使えばいけるんじゃないか?」
 そんな思い付きを元に試しにプログラムを組んでみたところ、出るわ出るわ、どっさり解答例が見つかりました。

長さ2の解答:[384527÷961] = 400
([...]はガウス記号。記号内の数を超えない最大の整数。)

 こんな感じのが、[6桁÷3桁]の場合だけでも数百パターン見つかりました。

 うーむ、でもやっぱり、これじゃ面白くない。
 そもそもガウス記号っていうのが何だかダサい。
 もうちょっときれいな解答か、あるいはいっそ長さ1の解答なんてのがないかな? と言う気がします。
 そうしたら再び、ある思いつきに襲われました。
 「3×3行列の行列式なんてどうだろう?」
 さすがにそんな都合のいいことはないかな、と思いつつも再びプログラムを組んでみたところ、なんとびっくり、見つかっちゃいました。
 
長さ1の解答:  |148|
         det |926| = 400
           |573|

 非常にシンプルな形で、かなり気に入りました。(行列式は大学1年の範囲だけど。)

 実はこれ以外に、行列を使わない長さ1の解答を思いつきました。
 非常にユニークで最高のネタなので、懸賞の募集締切が過ぎるまで秘蔵っ子ということにしておきましょう。
 ていうか、募集締切は1月20日。もうすぐなんですね・・・。(この問題を知ったのは昨日。)
 明日以降、問1と問3を考えてみようと思います。

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